勾股定理16种证明方法

1、【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab， 整理得a²+b²=c²。

3、【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， 2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。

5、【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼芤晟踔肿成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a²+b²=S+2x1/2ab,c²=S+2x1/2ab∴a²+b²=c².

7、【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面积等于2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =a²同理可证，矩形MLEB的面积 =b².∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ c²=a²+b² 。

9、【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为艘早祓胂c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c²=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅ ①∵ S₈+S₃+S₄=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b²-1/2abS₅=S₉+S₈∴S₃+S₄=b²-1/2ab-S=b²-S₁-S₃ ②把②代入①，得C²=S₁+S₂+b²-S₁-S₈+S₈+S₉=b²+S₂+S₉=b²+a²∴ a²+b²=c².

11、【证法11】（利用切割线定理证明）在 RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AC²=AExAD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)= c²-a²，即b²=c²-a²，∴ a²+b²=c².

13、【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴ AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)= CE+CD= r + r = 2r,即 a+b-c=2r，∴ a+b=2r+c.∴(a+b)²=(2r+c)²即a²+b²+2ab=4(r²+rc)+c²∵ S△ABE=1/2ab，∴ 2ab=4S△ABE，又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC =1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r=1/2(2r+c+c)r=r²+rc，∴4(r²+rc)=4S△ABC，∴4(r²+rc= 2ab∴a²+b²+2ab=2ab+c²，∴ a²+b²=c².

15、【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD(a+b)=a²+b²+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分，则正方形ABCD的面积为∴ (a+b)²=4x1/2ab+c²=2ab+c²,∴ a²+b²+2ab=2ab+c².∴a²+b²=c².