七道数学极限练习题及计算过程A13

本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

1.计算lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)

1、解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：lim(n→∞)(13n²-12)/(26n⁴+18n-8)=lim(n→∞)(13/n-12/n⁴)/(26+18/n³-8/n⁴),=0。

2、 思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：lim(n→∞)(22n²-35n-28)/(35+9n-31n²)=lim(n→∞)(44n-35)/(9-62n)，继续使用罗必塔法则，=lim(n→∞)(44-0)/(0-62)，=-22/31。

4.求lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)

1、解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：lim(x→0)(23x+28sin3x)/(4x-47sin11x)，=lim(x→0)(23+28sin3x/x)/(4-47sin11x/x)，=lim(x→0)(23+84sin3x/3x)/(4-517sin11x/11x)，=(23+84)/(4-517)，=-107/513。

5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)

1、求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)。解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：lim(x→∞)(x²sin1/x)/(46x+49)=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(46x+49)/x],=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[46+(49/x)],=1/{lim(x→∞)[46+(49/x)]},=1/46。

2、思路二：使用罗必塔法则计算有：lim(x→0)(sinx-sin73x)/sin36x,=lim(x→0)(cosx-sin73cos73x)/(36cos36x)，=lim(x→0)(1-73)/36，=-2。