已知2a+35b=9,七种方法计算ab最大值详细步骤

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

思路一：直接代入法

1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。ab=a(9/35-2/35*a)=-2/35*a^2+9/35*a=-2/35(a-9/4)^2+81/280，则当a=9/4时，ab有最大值为81/280。

思路三：三角换元法

1、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。由2a+35b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，设2a=9(cost)^2，35b=9(sint)^2，则：a=(cost)^2,b=9/35(sint)^2,代入得：ab=(cost)^2*9/35(sint)^2,=81/280*(sin2t)^2,当sin2t=±1时，ab有最大值=81/280。

思路五：不等式法

1、当a，b均为正数时，则：∵2a+35b≥2√70*ab,∴(2a+35b)^2≥280*ab,81≥280*ab,即：ab≤81/280,则ab的最大值为81/280。

思路七:构造函数法

1、设函数f(a,b)=ab-λ(2a+35b-9),则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-35λ,f'λ=2a+35b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=2λ,a=35λ。进一步代入得：70λ+70λ=9,即λ=9/140.则有a=9/4,b=9/70.ab的最大值=9/4*9/70=81/280。